В основе доклада лежит критический анализ знаменитой статьи М.А.Лаврентьева и А.Ю.Ишлинского [1]. Рассматривается тонкий упругий горизонтально расположенный стержень в полной динамической постановке. В продольном направлении левый конец стержня свободен, а правый закреплен. В поперечном направлении оба конца шарнирно оперты. К свободному концу скачкообразно приложена постоянная продольная сила. Стержень искривлен и имеет исходную погибь, совпадающую с n-й эйлеровой формой потери устойчивости. Оказывается, что при скачкообразном приложении n-й эйлеровой
критической силы максимальную скорость роста прогиба имеет отнюдь не n-я форма потери устойчивости. Так, при n=3 максимальная скорость роста соответствует второй форме потери устойчивости, а при n=4 - третьей форме. Объяснению этого парадоксального результата посвящена часть доклада.
В противоположность квази-динамической постановке [1], рассматривается динамическая задача в полной постановке и проверяется динамическая устойчивость тривиального решения, то есть прямолинейной формы. Вышеуказанная нагрузка порождает в стержне периодическую систему продольных волн. При определенных соотношениях между параметрами задачи продольные волны параметрически возбуждают поперечные колебания стержня. В теории колебаний этот феномен классифицируется как параметрический резонанс. Он принадлежит к классу резонансных явлений, однако принципиальное отличие от классического резонанса заключается в том, что параметрический резонанс занимает целые области неустойчивости на плоскости параметров. Как всякий резонансный эффект, в линейной постановке он характеризуется безграничным ростом амплитуды колебаний при отсутствии демпфирования и многократным увеличением амплитуды колебаний при наличии демпфирования.
В линейном приближении имеем неограниченный рост амплитуды поперечных колебаний, которые черпают энергию из продольных колебаний. При более аккуратной, нелинейной постановке задачи, которая вводит зависимость продольных колебаний от поперечных, картина движения оказывается иной. Движение представляет собой незатухающие биения с последовательной перекачкой энергии продольных колебаний в поперечные и наоборот.
Рассмотрен случай длительной нагрузки, позволяющий объяснить результаты статьи [1] несмотря на кажущуюся парадоксальность. Получены аналитические выражения для
скорости роста каждой из форм потери устойчивости, что сделало наглядным соотношения между ними. Численная симуляция подтвердила робастность результата [1].
Продемонстрирована возможность и условия потери устойчивости при внешней силе, меньше эйлеровой, приводящей к возникновению параметрических колебаний.
[1] Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю., Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН
СССР. – 1949. – т. 64. № 6. – с. 779-782.